お世話になります。
うちは自社ショップはＢＡＳＥは使ってないですがＢＡＳＥから
発送指示をしなくても、アマゾンのように売れたら自動的に発送してくれる体制
となると下記なのかなと思います（ググったら出てきました）
https://apps.thebase.in/detail/21 自動化が目的でしたら上記のような会社か、アマゾンの倉庫からマルチチャネルで発送したければシッピーノの対応してるカート（Shopify)を使うか対応してるシステムのネクストエンジンを使って対応できるカートに自社カートに移行するかどちらかなと思います。
シッピーノ
https://www.shippinno.net/ ネクストエンジン（対応カート）
https://next-engine.net/manageable_systems ちなみに弊社の場合は、半自動という感じなんですが
倉庫は楽天ロジという楽天の倉庫からクロスモールというシステムで自社ショップなどの発送も指示をだしてる形になります。
より、自動化を目指すのであれば上記がいいのではと思います。